지수 분포 (정의, 공식) | 계산하는 방법?

지수 분포 란 무엇입니까?

지수 분포는 주어진 이벤트가 발생하기 전에 사람이 기다려야하는 시간을 모델링하는 데 실제로 사용되는 연속적이고 일정한 확률 분포를 의미하며이 분포는 대신 구별되는 기하학적 분포의 연속 대응입니다.

지수 분포 공식

연속적인 임의의 변수 (X) (스케일 파라미터 λ> 0)의 확률 밀도 함수가 음의 스케일 파라미터와의 지수 함수 스케일 파라미터를 곱으로 표현 될 수있는 경우에만 지수 분포가 알려져 X 모든 X의 보다 큰 또는 0과 같으면 확률 밀도 함수는 0과 같습니다.

수학적으로 확률 밀도 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

평균은 1 / λ와 같고 분산은 1 / λ2와 같습니다.

지수 분포 계산 (단계별)

  • 1 단계 : 먼저 고려중인 이벤트가 본질적으로 연속적이고 독립적이며 대략 일정한 비율로 발생하는지 파악합니다. 실제 이벤트는 변수가 0보다 크거나 같은지 확인합니다.
  • 2 단계 : 다음으로, 항상 평균의 역수 인 척도 모수의 값을 결정합니다.
    • λ = 1 / 평균
  • 3 단계 : 다음으로 척도 매개 변수 λ와 변수 x를 곱한 다음 제품의 지수 함수에 마이너스 1을 곱한 e– λ * x를 계산합니다.
  • 4 단계 : 마지막으로 확률 밀도 함수는 지수 함수와 척도 매개 변수를 곱하여 계산됩니다.

위 공식 이 0보다 크거나 같은 모든 x에 대해 참이면 x 는 지수 분포입니다.

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사무실 직원이 관리자의 책상에서 점원의 책상까지 배달하는 데 걸린 시간 (분) 인 x를 예로 들어 보겠습니다. 소요 시간 함수는 평균 시간이 5 분인 지수 분포를 갖는 것으로 가정합니다.

x 는 시간이 측정되기 때문에 연속 랜덤 변수 라고 가정합니다 .

평균, μ = 5 분

따라서 스케일 매개 변수, λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20

따라서 지수 분포 확률 함수는 다음과 같이 파생 될 수 있습니다.

f (x) = 0.20 e– 0.20 * x

이제 x의 다른 값에서 확률 함수를 계산 하여 분포 곡선을 도출합니다.

x = 0 인 경우

x = 0에 대한 지수 분포 확률 함수는 다음과 같습니다.

마찬가지로 x = 1 ~ x = 30에 대한 지수 분포 확률 함수를 계산합니다.

  • x = 0 인 경우 f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
  • x = 1 인 경우 f (1) = 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
  • x = 2 인 경우 f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
  • x = 3 인 경우 f (3) = 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
  • x = 4 인 경우 f (4) = 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
  • x = 5 인 경우 f (5) = 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
  • x = 6 인 경우 f (6) = 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
  • x = 7, f (7) = 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
  • x = 8 인 경우 f (8) = 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
  • x = 9 인 경우 f (9) = 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
  • x = 10 인 경우 f (10) = 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
  • x = 11 인 경우 f (11) = 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
  • x = 12 인 경우 f (12) = 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
  • x = 13 인 경우 f (13) = 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
  • x = 14 인 경우 f (14) = 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
  • x = 15 인 경우 f (15) = 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
  • x = 16 인 경우 f (16) = 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
  • x = 17 인 경우 f (17) = 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
  • x = 18 인 경우 f (18) = 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
  • x = 19 인 경우 f (19) = 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
  • x = 20 인 경우 f (20) = 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
  • x = 21 인 경우 f (21) = 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
  • x = 22 인 경우 f (22) = 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
  • x = 23 인 경우 f (23) = 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
  • x = 24 인 경우 f (24) = 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
  • x = 25 인 경우 f (25) = 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
  • x = 26 인 경우 f (26) = 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
  • x = 27 인 경우 f (27) = 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
  • x = 28 인 경우 f (28) = 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
  • x = 29 인 경우 f (29) = 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
  • x = 30 인 경우 f (30) = 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000

우리는 다음과 같이 분포 곡선을 도출했습니다.

관련성 및 사용

실제 시나리오에서는 일정한 비율의 가정이 거의 충족되지 않지만 비율이 대략적으로 일정한 방식으로 시간 간격을 선택하면 지수 분포를 좋은 근사 모델로 사용할 수 있습니다. 물리학, 수 문학 등의 분야에서 다른 많은 응용 프로그램이 있습니다.

통계 및 확률 이론에서 지수 분포의 표현은 일정한 평균 속도로 독립적이고 연속적으로 발생하는 두 연속 이벤트 사이의 시간을 정의하는 데 사용되는 확률 분포를 나타냅니다. 광범위하게 사용되는 연속 분포 중 하나이며 Excel의 Poisson 분포와 엄격하게 관련됩니다.