통계에서 Z 검정을 계산하는 공식
통계의 Z 검정은 표준 편차를 사용할 수 있고 표본이 큰 경우 계산 된 두 표본 평균이 다른지 여부를 확인하는 데 사용되는 가설 검정을 나타냅니다.
Z = (x – μ) / ơ
여기서 x = 모집단의 모든 값
- μ = 모집단 평균
- ơ = 모집단 표준 편차
표본의 경우 x- 값에서 표본 평균을 뺀 값의 z- 검정 통계 공식을 계산 한 다음 결과를 표본 표준 편차로 나눕니다. 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다.
Z = (x – x_mean ) / s어디
- x = 샘플의 모든 값
- x_mean = 표본 평균
- s = 표본 표준 편차
Z 테스트 계산 (단계별)
모집단에 대한 z- 검정 통계의 공식은 다음 단계를 사용하여 파생됩니다.
- 1 단계 : 먼저 모집단 평균에 캡처 된 관측치를 기반으로 모집단 평균과 모집단 표준 편차를 계산하고 각 관측치는 x i 로 표시됩니다 . 모집단의 총 관측치 수는 N으로 표시됩니다.
인구 평균,
인구 표준 편차,
- 2 단계 : 마지막으로 z- 검정 통계는 변수에서 모집단 평균을 빼서 계산 한 다음 결과를 아래와 같이 모집단 표준 편차로 나눕니다.
Z = (x – μ) / ơ
샘플에 대한 z- 검정 통계의 공식은 다음 단계를 사용하여 파생됩니다.
- 1 단계 : 먼저 위와 동일하게 표본 평균과 표본 표준 편차를 계산합니다. 여기에서 표본의 총 관측 수는 n <N이되도록 n으로 표시됩니다.
표본 평균,
표본 표준 편차,
- 2 단계 : 마지막으로, x- 값에서 표본 평균을 빼서 z- 검정 통계를 계산 한 다음 그 결과를 아래와 같이 표본 표준 편차로 나눕니다.
Z = (x – x_mean ) / s
예
여기에서이 Z 테스트 수식 Excel 템플릿을 다운로드 할 수 있습니다 – Z 테스트 수식 Excel 템플릿예 1
학급 시험에 출석 한 학교 학생 수를 가정 해 보겠습니다. 테스트의 평균 점수는 75이고 표준 편차는 15입니다. 테스트에서 90 점을받은 David의 z 테스트 점수를 결정합니다.
주어진,
- 모집단 평균, μ = 75
- 인구 표준 편차, ơ = 15
따라서 z- 검정 통계는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
Z = (90 – 75) / 15
Z 테스트 통계는 –
- Z = 1
따라서 David의 테스트 점수는 모집단의 평균 점수보다 한 표준 편차입니다. 즉, z- 점수 표에 따라 학생의 84.13 %가 David보다 점수가 낮습니다.
예제 # 2
한 주에 몇 개의 연필이 사용되었는지 알아보기 위해 설문 조사를받을 샘플 팀의 일원으로 선정 된 30 명의 학생을 예로 들어 보겠습니다. 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4와 같은 3 번째 학생의 z-test 점수를 결정합니다. , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.
주어진,
- x = 5, 세 번째 학생의 응답이므로 5
- 표본 크기, n = 30
표본 평균, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30
평균 = 4.17
이제 위의 공식을 사용하여 표본 표준 편차를 계산할 수 있습니다.
ơ = 1.90
따라서 세 번째 학생의 z-test 점수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
Z = (x – x) / s
- Z = (5 –17) / 1.90
- Z = 0.44
따라서 세 번째 학생의 사용량은 표본의 평균 사용량보다 표준 편차의 0.44 배입니다. 즉, z- 점수 표에 따라 67 %의 학생이 세 번째 학생보다 연필을 적게 사용합니다.
예제 # 3
한 주에 몇 개의 연필이 사용되었는지 알아보기 위해 설문 조사를받을 샘플 팀의 일원으로 선정 된 30 명의 학생을 예로 들어 보겠습니다. 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4와 같은 3 번째 학생의 z-test 점수를 결정합니다. , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.
아래는 Z 테스트 통계 계산을위한 데이터입니다.
Z 테스트 통계의 자세한 계산은 아래 주어진 엑셀 시트를 참조 할 수 있습니다.
관련성 및 용도
z- 검정 통계는 관련 귀무 가설 하에서 검정 통계량이 정규 분포를 따르는 지 여부가 논쟁의 여지가있을 때마다 일반적으로 사용되기 때문에 z- 검정 통계의 개념을 이해하는 것이 매우 중요합니다. 그러나 z- 검정은 표본 크기가 30보다 큰 경우에만 사용되며, 그렇지 않으면 t- 검정이 사용된다는 점에 유의해야합니다.